GEB, Visão Geral

Nesta página consta uma descrição sumária de cada diálogo e capítulo do livro.


Contents

Parte I - GEB

Introdução - Uma oferenda músico-lógica

O livro começa com a história da Oferenda Musical de Bach. Bach fez uma visita repentina ao rei Frederico-o-Grande da Prússia e foi instado a improvisar sobre um tema apresentado pelo rei. As suas improvisações constituíram a base daquela grande obra. São discutidas a auto-referência e a interpenetração de níveis diferentes na obra de Bach, o que leva à discussão de ideias paralelas nos desenhos de Escher e, a seguir, no teorema de Gödel. Uma breve apresentação da história da lógica e dos paradoxos é aposta como pano de fundo para o teorema de Gödel, o que leva ao raciocínio mecânico, aos computadores e ao debate sobre se a inteligência artificial é possível. Termino com uma explicação sobre as origens do livro -particularmente o porquê e o para quê dos diálogos.


Invenção a três vozes

Bach escreveu quinze invenções a três vozes. Neste diálogo a três vozes, a Tartaruga e Aquiles - os principais protagonistas fictícios dos diálogos - são "inventados" por Zenão (como de facto o foram para ilustrar o paradoxo do movimento de Zenão). Muito curto, dá simplesmente o tom dos próximos diálogos.

Capítulo I - O quebra-cabeças MU

é apresentado um sistema formal simples (o sistema MIU) e o leitor é instado a resolver um quebra-cabeças para ganhar familiaridade com os sistemas formais em geral. São introduzidas algumas noções fundamentais: sequência de símbolos, teorema, axioma, regra de inferência, derivação, sistema formal, procedimento decisório, trabalhar dentro/fora do sistema.


Invenção a duas vozes

Bach também escreveu quinze invenções a duas vozes. Este diálogo foi escrito, não por mim, mas por Lewis Carroll em 1895. Carroll tomou emprestados Aquiles e a Tartaruga de Zenão e eu tornei-os de Carroll. O assunto é a relação entre o raciocínio, o raciocínio sobre o raciocínio, o raciocínio sobre o raciocínio sobre o raciocínio, e assim sucessivamente. De certo modo, é paralelo aos paradoxos de Zenão sobre a impossibilidade do movimento, parecendo mostrar, pelo uso da regressão infinita, que o raciocínio é impossível. é um belo paradoxo e fazem-se-lhe diversas referências no decurso do livro.

Capítulo II - Significado e forma em matemática

é apresentado um novo sistema formal (o sistema mg), ainda mais simples do que o sistema MIU do capítulo I. Parecendo inicialmente sem significado, os símbolos revelam-se repentinamente significativos em virtude da forma dos teoremas em que aparecem. Essa revelação é a primeira aproximação importante com respeito ao significado: a sua ligação profunda ao isomorfismo. Discutem-se então várias questões relacionadas com o significado, como verdade, demonstração, manipulação de símbolos e o conceito fugidio de "forma".


Sonata para Aquiles a solo

Um diálogo que imita as sonatas de Bach para violino a solo. Em particular, Aquiles é o único interlocutor, pois trata-se da transcrição de um dos lados de uma conversa telefónica que tem no outro extremo a Tartaruga. A conversa gira em torno dos conceitos de "figura" e "fundo" em vários contextos - por exemplo, a arte de Escher. O próprio diálogo constitui um exemplo da distinção entre eles, uma vez que o texto de Aquiles compõe uma "figura" e o texto da Tartaruga - implícito no de Aquiles - compõe um "fundo".

Capítulo III - Figura e fundo

A distinção entre figura e fundo na arte é comparada à distinção entre teoremas e não-teoremas nos sistemas formais. A pergunta "uma figura contém necessariamente a mesma informação que o seu fundo?" leva à distinção entre conjuntos recursivamente enumeráveis e conjuntos recursivos.


Contracrostipunctus

Este diálogo é fundamental para o livro, pois contém um conjunto de paráfrases da construção auto-referente de Gödel e do seu teorema da incompletude. Uma das paráfrases do teorema diz "para cada fonógrafo existe um disco que ele não pode tocar". O título do diálogo é um jogo entre a palavra "acróstico" e a palavra "contraponto", usada por Bach para denotar as muitas fugas e cânones que conformam a sua Arte da Fuga. São feitas algumas referências explícitas à Arte da Fuga. O próprio diálogo contém alguns efeitos acrósticos.

Capítulo IV - Consistência, compIetude e geometria

O diálogo anterior é explicado, na medida em que isso é possível, nesta altura. Isso traz de volta a questão de saber como e quando os símbolos de um sistema formal adquirem significado. A história da geometria euclidiana e não euclidiana é relatada como ilustração da noção fugidia de "termos não definidos". Isso leva a ideias a respeito da consistência de geometrias diferentes e possivelmente "rivais". Através dessa discussão é esclarecida a noção de termos não definidos e considerada a relação dos termos não definidos com os processos de percepção e pensamento.


Pequeno labirinto harmónico

Tem por base a peça de Bach para órgão com o mesmo nome. é uma introdução alegre à noção de estruturas recorrentes, isto é, embutidas umas dentro das outras. Contém histórias dentro de histórias. A história-base, ao invés de terminar como esperado, é deixada em aberto, de maneira que o leitor fica pendente, sem uma resolução. Uma história embutida refere-se à modulação na música - particularmente uma peça para órgão que termina no tom errado, deixando o ouvinte pendente, sem uma resolução.

Capítulo V - Estruturas e processos recorrentes

A ideia da recorrência é apresentada em muitos contextos diferentes: padrões musicais, padrões linguísticos, estruturas geométricas, funções matemáticas, teorias físicas, programas de computador e outros.


Cânone por aumento de intervalos

Aquiles e a Tartaruga tentam resolver a questão "o que contém mais informação - um disco ou o fonógrafo que o toca?". Esta questão bizarra surge quando a Tartaruga descreve um disco único que, quando tocado num conjunto de fonógrafos diferentes, produz duas melodias bem diferentes: B-A-C-H e C-A-G-E. Resulta, todavia, que essas melodias são "a mesma" num sentido peculiar.

Capítulo VI - A localização do significado

Uma ampla análise de como o significado é dividido entre mensagem codificada, descodificador e receptor. Os exemplos apresentados incluem sequências de ADN, inscrições não decifradas em placas da antiguidade e discos fonográficos que voam pelo espaço. Postula-se a relação da inteligência com o significado "absoluto".


Fantasia cromática e rixa

Um pequeno diálogo que tem muito pouca semelhança, excepto quanto ao título, com a Fantasia cromática e fuga de Bach. Refere-se à maneira correcta de manipular sentenças de modo a preservar a verdade - em particular à questão de saber se existem regras para o uso da palavra "e". Este diálogo tem muito em comum com o diálogo de Lewis Carroll.

Capítulo VII - O cálculo proposicional

Sugere-se que palavras como "e" podem ser reguladas por regras formais. São novamente levantadas as ideias de isomorfismo e aquisição automática de significado pelos símbolos em sistemas como este. Todos os exemplos deste capítulo, a propósito, são "zentenças" - sentenças tomadas de kõans zen, o que é feito propositadamente, de maneira algo maliciosa, uma vez que os kõans zen são histórias deliberadamente ilógicas.


Cânone Caranguejo

Um diálogo baseado numa peça do mesmo nome, que faz parte da Oferenda Musical. Ambos são assim denominados por os caranguejos (supostamente) caminharem para trás. O Caranguejo faz a sua primeira aparição neste diálogo. Talvez seja o diálogo mais denso do livro em termos de efeitos formais e de jogo de níveis. Gödel, Escher e Bach interligam-se profundamente neste diálogo muito breve.

Capítulo VIII - Teoria dos números tipográfica

é apresentada uma extensão do cálculo proposicional, denominada TNT. Na TNT, o raciocinio teórico-numérico pode ser feito pela manipulação rígida dos símbolos. São consideradas as diferenças entre o raciocinio formal e o pensamento humano.


Uma oferenda MU

Este diálogo antecipa diversos tópicos novos do livro. Ostensivamente relacionado com o budismo zen e com kõans, é, na verdade, uma discussão subtilmente velada sobre teoremidade e não-teoremidade, verdade e falsidade, ou sequências na teoria dos números. Há referências passageiras à biologia molecular - particularmente ao código genético. Não há afinidade intima com a Oferenda Musical, além da presença no título e no desenvolvimento de jogos de auto-referência.

Capítulo IX - Mumon e Gõdel

Faz-se uma tentativa de falar a respeito das estranhas ideias do budismo zen. O monge zen Mumon, que fez comentários muito conhecidos sobre muitos kõans, é uma figura central. De certa maneira, as ideias zen guardam uma semelhança metafórica com algumas ideias contemporâneas da filosofia da matemática. Com base nesse "zenário", é apresentada a ideia fundamental de Gõdel, a numeração de Gödel, e faz-se uma primeira abordagem ao teorema de Gõdel.


Parte II - EGB

Prelúdio...

Este diálogo tem ligação com o subsequente. Ambos se baseiam em prelúdios e fugas do Cravo Bem Temperado de Bach. Aquiles e a Tartaruga trazem um presente ao Caranguejo, que tem um convidado: o Tamanduá. O presente é uma gravação do CBT: que é imediatamente tocado. Ao ouvirem um prelúdio, discutem a estrutura dos prelúdios e das fugas, o que leva Aquiles a querer saber como deve ouvir-se uma fuga: como um todo ou como uma soma de partes? é este o debate entre o holismo e o reducionismo, que adiante será desenvolvido na Fuga da Formiga.

Capítulo X - Níveis de descrição e computadores

São discutidos vários níveis de observação de quadros, tabuleiros de xadrez e sistemas de computadores. O último deles é então examinado em pormenor. Isso envolve a descrição de linguagens de máquina, linguagens de montagem, linguagens de compilação, sistemas operacionais, e assim sucessivamente. A seguir, a discussão volta-se para sistemas compostos de outros tipos, como equipas desportivas, núcleos, átomos, o clima, etc. Surge a questão de saber quantos níveis intermediários existem - ou, na verdade, se existem.


...Fuga da Formiga

Uma imitação de uma fuga musical: cada voz entra com a mesma proposição. O tema - holismo vs. reducionismo - é introduzido num quadro recorrente, composto de palavras compostas de palavras menores, etc. As palavras que aparecem nos quatro níveis deste estranho quadro são "HOLISMO", "REDUCIONISMO" e "MU". A discussão desvia-se para uma amiga do Tamanduá - Madame Formigueiros, um formigueiro dotado de consciência. Os vários níveis dos processos de pensamento são o tópico de discussão. No diálogo estão contidos muitos efeitos de fuga. Como indícios para o leitor, fazem-se referências a efeitos paralelos que ocorrem na fuga tocada no disco que o quarteto ouve. No final da Fuga da Formiga reaparecem temas do Prelúdio, bastante transformados.

Capitulo XI - Cérebros e pensamentos

"Como podem os pensamentos ser apoiados pelo hardware do cérebro?" é o tópico deste capítulo. Inicialmente, dá-se uma visão geral da estrutura do cérebro em grande e em pequena escala. A seguir, discute-se especulativamente, com algum pormenor, a relação entre os conceitos e a actividade neural.


Suite inglesa, francesa, alemã e portuguesa

Interlúdio que consiste no poema sem sentido de Lewis Carroll "]abberwocky", juntamente com três traduções, uma em francês e outra em alemão, ambas feitas no século XIX, e uma contemporânea, em português.

Capítulo XII - Mentes e pensamentos

Os poemas precedentes levantam pertinentemente a questão de saber se as linguagens ou, na verdade, as mentes podem "sobrepor-se" entre si. Como é possível a comunicação entre dois cérebros fisicamente separados? O que têm os cérebros humanos em comum? é utilizada uma analogia geográfica para sugerir uma resposta. Surge a pergunta "pode um cérebro ser entendido, em algum sentido objectivo, por um ser exterior?".


Aria com variações diversas

Um diálogo cuja forma se baseia nas variações Goldberg, de Bach, e cujo conteúdo se relaciona com problemas da teoria dos números, como a conjectura de Goldbach. Este híbrido tem como objectivo principal mostrar que a subtileza da teoria dos números deriva do facto de existirem muitas variações diferentes em relação ao tema da busca através de um espaço infinito. Algumas delas levam a buscas infinitas, outras a buscas finitas, outra ainda pairam entre ambas.

Capítulo XIII - VoD, VoL e VoM

Esses são os nomes de três linguagens de computação. Os programas VoD só podem efectuar buscas previsivelmente finitas, enquanto os programas VoL podem efectuar buscas imprevisíveis ou mesmo infmitas. A finalidade deste capítulo é proporcionar uma intuição sobre as noções de funções recursivas primitivas e funções recursivas gerais em teoria dos números, por serem essenciais à demonstração de Gõdel.


ária na corda G

Um diálogo em que a construção auto-referente de Gõdel é reflectida em palavras. A ideia deve-se a W. V. O. Quine. Este diálogo serve como protótipo para o próximo capítulo.

Capítulo XIV - Das proposições formalmente indecidíveis da TNT e de sistemas relacionados

O título deste capítulo é uma adaptação do título do artigo de Gödel de 1931, no qual foi publicado pela primeira vez o seu teorema da incompletude. São expostas cuidadosamente as duas partes principais da demonstração de Gödel. Mostra-se como a premissa de consistência da TNT força a conclusão de que a TNT (ou qualquer sistema similar) é incompleta. Discutem-se relações com a geometria euclidiana e não euclidiana. Consideram-se com algum cuidado implicações relativas à filosofia da matemática.


Cantatatata... de aniversário

Aquiles não logra convencer a astuta e céptica Tartaruga de que aquela é a data do seu (de Aquiles) aniversário. As suas tentativas repetidas e infrutíferas prenunciam a repetibilidade da argumentação de Gõdel.

Capítulo XV - Saltando fora do sistema

A repetibilidade da argumentação de Gõdel é mostrada com a implicação de que a TNT não só é incompleta, mas "essencialmente incompleta". A argumentação até certo ponto notória de J. R. Lucas no sentido de que o teorema de Gödel demonstra que o pensamento humano não pode, de modo algum, ser "mecânico" é analisada, e levada à conclusão de que é insuficiente.


Pensamentos edificantes de um fumador de tabaco

Um diálogo que trata de muitos tópicos, com ênfase em problemas ligados à auto-reprodução e à auto-referência. Entre os exemplos utilizados encontram-se câmaras de televisão que filmam telas de televisão e vírus e outras entidades subcelulares que se montam a si próprias. O título provém de um poema do próprio J.S.Bach que aparece de maneira peculiar.

Capítulo XVI - Auto-ref e auto-rep

Este capítulo refere-se à ligação entre a auto-referência, nas suas diversas formas, e as entidades auto-reprodutoras (por exemplo, programas computacionais ou moléculas de ADN). Discutem-se as relações entre uma entidade auto-reprodutora e os mecanismos externos que a ajudam na auto-reprodução (por exemplo, o computador ou as proteinas) - particularmente o carácter vago da distinção. Como viaja a informação entre vários níveis de tais sistemas é o ponto central deste capítulo.


O Magnificaranguejo, com certeza

O título é um jogo de palavras com o Magnificat, de Bach, em ré. A narrativa refere-se ao Caranguejo, que dá a impressão de ter um poder mágico de distinguir entre proposições verdadeiras e falsas na teoria dos números ao lê-las como peças musicais, tocá-las na flauta e determinar se são "belas" ou não.

Capítulo XVII - Church, Turing, Tarski e outros

O Caranguejo fictício do diálogo precedente é substituído por diversas pessoas reais com incríveis habilidades matemáticas. A tese de Church e Turing, que relaciona a actividade mental com a computação, é apresentada em diversas versões de forças diferentes. Todas são analisadas, particularmente em termos das suas implicações na simulação mecânica do pensamento humano ou na programação, numa máquina, da capacidade de sentir ou de criar beleza. A vinculação entre a actividade do cérebro e a computação traz à tona outros tópicos: o problema da paragem de Turing e o teorema da verdade de Tarski.


SHRDLU, alegria dos homens

Este diálogo é retirado de um artigo de Terry Winograd a respeito do seu programa SHRDLU; apenas foram modificados alguns nomes. Um programa comunica com uma pessoa a respeito do chamado "mundo de blocos" em linguagem fina. O programa de computador parece revelar alguma compreensão real - no seu mundo limitado. O título do diálogo baseia-se em Jesus, alegria dos homens, um movimento da cantata 147 de Bach.

Capítulo XVIII - Inteligêncía artificial: retrospectiva

Este capítulo começa com uma discussão do famoso "teste de Turing" - proposta do pioneiro da computação, Alan Turing, sobre uma maneira de determinar a presença ou a ausência de "pensamento" numa máquina. A partir daí prossegue numa breve história da inteligência artificial, cobrindo programas que podem - até certo ponto - disputar jogos, demonstrar teoremas, resolver problemas, compor música, fazer matemática e utilizar "linguagem natural", por exemplo, inglês.


Contrafacto

Aborda o modo como organizamos inconscientemente os nossos pensamentos para imaginarmos permanentemente variantes hipotéticas no mundo real, assim como variantes aberrantes dessa capacidade - como a possuída por uma nova personagem, a Preguiça, ávida devoradora de batatas fritas e inimiga mortal dos contrafactuais.

Capítulo XIX - Inteligência artificial: perspectivas

O diálogo precedente provoca uma discussão sobre a representação do conhecimento em camadas de contextos, o que leva à ideia moderna de "estruturas" no campo da IA. é apresentada uma maneira estrutural de lidar com um conjunto de quebra-cabeças de padrões visuais para fins de concretização. A seguir, é discutida a questão profunda da interacção de conceitos em geral, o que leva a algumas especulações sobre a criatividade. O capítulo encerra com um conjunto de "questões e especulações" pessoais sobre IA e as mentes em geral.


Cânone Preguiça

Cânone que imita um cânone de Bach em que uma voz executa a mesma melodia que outra, mas ao contrário e com metade da velocidade, enquanto uma terceira voz permanece livre. Aqui a Preguiça tem a mesma fala da Tartaruga, mas na negativa (num sentido amplo do termo) e com metade da velocidade, enquanto Aquiles permanece livre.

Capítulo XX - Voltas estranhas ou hierarquias enredadas

Um remate de muitas ideias sobre sistemas hierárquicos e auto-referência. Refere-se aos nós que surgem quando os sistemas se voltam para si próprios - por exemplo, a comprovação da ciência pela ciência, a investigação governamental de irregularidades no governo, a violação pela arte das regras da arte e, finalmente, a reflexão humana sobre os próprios cérebros e mentes. Terá o teorema de Gödel algo a dizer a respeito deste último "nó"? Estarão o livre arbítrio e a sensação de consciência vinculados ao teorema de Gôdel? O capítulo termina com uma nova vinculação entre Gödel, Escher e Bach.


"Ricercar" a seis vozes

Este diálogo é um jogo no qual tomam parte muitas das ideias que povoaram o livro. é uma reapresentação da história da Oferenda Musical, com a qual o livro começou, e, simultaneamente, uma "tradução" em palavras da peça mais complexa da Oferenda Musical: o "Ricercar" a seis vozes. Essa dualidade impregna o diálogo de mais níveis de significado do que qualquer outro do livro. Frederico-o-Grande é substituído pelo Caranguejo, pianos por computadores, e assim sucessivamente. Ocorrem muitas surpresas. O conteúdo do diálogo refere-se a problemas da mente, da consciência, do livre arbítrio, da inteligência artificial, do teste de Turing e de outros aspectos que foram apresentados anteriormente. A conclusão ocorre com uma referência implícita ao início do livro, o que toma o próprio livro uma grande volta auto-referente, simbolizando ao mesmo tempo a música de Bach, os desenhos de Escher e o teorema de Gõdel.

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